close
تبلیغات در اینترنت
جمع‌ها و تفريق‌ها
loading...

سیگما

 جمع‌ها و تفريق‌هامي‌خواهيم عبارت زير را حساب كنيم:1002 – 992 + 982 – 972 + 962 - …. + 22 – 12براي بدست آوردن حاصل اين عبارت، از فرمول x2 – y2 = (x +y)(x-y) استفاده مي‌كنيم و عبارت فوق را به صورت زير در مي‌آوريم:(100 +99) (100 – 99) + (98 +97)(98 – 97) + (96 +95) (96 – 95) + … + (2 + 1)(2 – 1)همانطور كه مي‌بينيد حاصل يكي از پرانتزها در هر عبارت برابر 1 مي‌شود. پس مي‌توانيم با ضرب پرانتزهاي باقي‌مانده در 1 به عبارت زير برسيم:100 + 99 + 98 + 97 + 96 + ……

 جمع‌ها و تفريق‌ها

مي‌خواهيم عبارت زير را حساب كنيم:

1002 – 992 + 982 – 972 + 962 - …. + 22 – 12

براي بدست آوردن حاصل اين عبارت، از فرمول x2 – y2 = (x +y)(x-y) استفاده مي‌كنيم و عبارت فوق را به صورت زير در مي‌آوريم:

(100 +99) (100 – 99) + (98 +97)(98 – 97) + (96 +95) (96 – 95) + … + (2 + 1)(2 – 1)

همانطور كه مي‌بينيد حاصل يكي از پرانتزها در هر عبارت برابر 1 مي‌شود. پس مي‌توانيم با ضرب پرانتزهاي باقي‌مانده در 1 به عبارت زير برسيم:

100 + 99 + 98 + 97 + 96 + … + 2 + 1

و مي‌دانيم حاصل عبارت بالا برابر 5050 مي‌شود.

حال مي‌توانيد الگوي تساوي‌هاي زير را پيدا كنيد؟

 

 

بياييد آخرين رابطه را ثابت كنيم تا به يك تنيجه كلي برسيم. اگر همه عبارت‌ها را به سمت راست ببريم و 362 را در سمت چپ تساوي نگه مي‌داريم كه مي‌شود:

36= (412 – 402) + (422 – 392) + (432 – 382) + (442 – 372)

توجه كنيد كه ما بزرگترين و كوچكترين جمله را با هم جفت كرده‌ايم و به همين ترتيب بزرگ‌ترين جمله بعدي با كوچكترين جمله بعدي و ... . حالا از فرمول مربع‌ها استفاده مي‌كنيم و خواهيم داشت:

و در نهايت بدست آورديم كه

362 = 92 . 42 = 81.16

حالا مي‌توانيم جمله عمومي را بدست آوريم.

براي n>= 1 ادعا مي‌كنيم كه:

[n(2n+1)]2 + … + [2n(n+1)]2 = (2n2 + 2n +1)2 + … + (2n2 + 3n)2

همانند قبل كه همه جملات به غير از يكي را به يك طرف برديم، اگر اين كار را براي اين جمله نيز تكرار كنيم خواهيم داشت:

حال به فرمولي براي جمع n عدد فرد نياز داريم.

1 + 3 + 5 + 7 + … + 2n-1

ميدانيم كه اين برابر مجموع يك تصاعد حسابي است پس با توجه به شكل زير مي‌بينيم كه جواب اين جمع برابر n2 مي‌شود.

با استفاده از فرمول‌امان براي جمع n عدد فرد خواهيم داشت:

[n(2n+1)]2 = (2n +1)n2

كه كاملا درست است.

 


نظرات () تاریخ : جمعه 14 فروردين 1394 زمان : 14:43 بازدید : 82 نویسنده : بنیامین فضلی
ارسال نظر برای این مطلب

نام
ایمیل (منتشر نمی‌شود) (لازم)
وبسایت
:) :( ;) :D ;)) :X :? :P :* =(( :O @};- :B /:) :S
نظر خصوصی
مشخصات شما ذخیره شود ؟ [حذف مشخصات] [شکلک ها]
کد امنیتیرفرش کد امنیتی

تبلیغات
Rozblog.com رز بلاگ - متفاوت ترين سرويس سایت ساز
اطلاعات کاربری
نام کاربری :
رمز عبور :
  • فراموشی رمز عبور؟
  • جستجو



    در اين وبلاگ
    در كل اينترنت
    آمار سایت
  • کل مطالب : [Blog_Posts]
  • کل نظرات : [Blog_Comments]
  • افراد آنلاین : [Online]
  • تعداد اعضا : [Blog_User]
  • <